對一個(gè)在閉區(qū)間有定義的實(shí)值函數(shù)，關(guān)于取樣分割的黎曼和定義如下：和式中的每一項(xiàng)是子區(qū)間長度與在處的函數(shù)值的乘積 。直觀地說是以標(biāo)記點(diǎn)到X軸的距離為高，以分割的子區(qū)間為長的矩形的面積 。不太嚴(yán)格地說，黎曼積分就是當(dāng)分割越來越“精細(xì)”的時(shí)候，黎曼和趨向的極限 。實(shí)際上，這就是黎曼積分定義的大概描述 。
【黎曼和的黎曼和的定義】嚴(yán)格定義如下：是函數(shù)在閉區(qū)間上的黎曼積分，當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的，都存在，使得對于任意的取樣分割，只要它的子區(qū)間長度最大值 ， 就是說 ， 對于一個(gè)函數(shù)，如果在閉區(qū)間上，無論怎樣進(jìn)行取樣分割，只要它的子區(qū)間長度最大值足夠小 ， 函數(shù)的黎曼和都會趨向于一個(gè)確定的值 ， 那么在閉區(qū)間上的黎曼積分存在，并且定義為黎曼和的極限 ， 這時(shí)候稱函數(shù)為黎曼可積的 。
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